Материал этой лекции излагается на несколько более формальном уровне, чем в предыдущих лекциях. Используемые понятия определяются, по существу, так же, как и в лекции 3, но для удобства и обеспечения точности изложения мы повторим определения.
Пусть r – отношение, A – имя атрибута отношения r, T – имя соответствующего типа (т. е. типа или домена атрибута A), v – значение типа T. Тогда:
Заметим, что заголовок – это множество (упорядоченных пар вида <A, T>), тело – это множество (кортежей tr), и кортеж – это множество (упорядоченных триплетов вида <A, T, v>). Элемент заголовка – это атрибут (т. е. упорядоченная пара вида <A,T>); элемент тела – это кортеж; элемент кортежа – это упорядоченный триплет вида <A, T, v>. Любое подмножество заголовка – это заголовок, любое подмножество тела – это тело, и любое подмножество кортежа – это кортеж.
Определим несколько основных операций (как будет показано далее, некоторые из них избыточны). Каждое из последующих определений состоит из: формальной спецификации ограничений (если они имеются), применимых к операндам соответствующей операции; формальной спецификации заголовка результата этой операции; формальной спецификации тела этого результата и неформального обсуждения формальных спецификаций.
Во всех формальных спецификациях exists обозначает квантор существования; exists tr означает «существует такой tr, что». Символ «
» означает принадлежность одного множества другому; trBr означает, что элемент tr принадлежит множеству Br. Выражение trBr означает, что элемент tr не принадлежит множеству Br. Операции minus и union являются традиционными теоретико-множественными операциями взятия разности и объединения множеств.Поскольку некоторые базовые операции Алгебры A имеют названия обычных логических операций, чтобы избежать путаницы, имена реляционных операций берутся в угловые скобки: <NOT>, <AND>, <OR> и т. д. В исходный базовый набор операций входят операции реляционного дополнения <NOT>, удаления атрибута <REMOVE>, переименования атрибута <RENAME>, реляционной конъюнкции <AND> и реляционной дизъюнкции <OR>.